सदिशों 2i + j + k और i - j + k के समतल में स् | vedclass

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Question

(B) माना अभीष्ट इकाई सदिश $\hat{a}$ है। चूँकि $\hat{a}$,$\vec{u} = 2i + j + k$ और $\vec{v} = i - j + k$ के समतल में स्थित है,इसे $\hat{a} = \alpha(2i

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$\frac{3j - k}{\sqrt{10}}$

Vedclass · Answer

(B) माना अभीष्ट इकाई सदिश $\hat{a}$ है। चूँकि $\hat{a}$,$\vec{u} = 2i + j + k$ और $\vec{v} = i - j + k$ के समतल में स्थित है,इसे $\hat{a} = \alpha(2i + j + k) + \beta(i - j + k)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।सरल करने पर,हमें $\hat{a} = (2\alpha + \beta)i + (\alpha - \beta)j + (\alpha + \beta)k$ प्राप्त होता है।चूँकि $\hat{a}$ एक इकाई सदिश है,इसका परिमाण $1$ है,इसलिए $(2\alpha + \beta)^2 + (\alpha - \beta)^2 + (\alpha + \beta)^2 = 1$ है।इसका विस्तार करने पर,हमें $6\alpha^2 + 4\alpha\beta + 3\beta^2 = 1$ ... $(i)$ प्राप्त होता है।चूँकि $\hat{a}$,$\vec{w} = 5i + 2j + 6k$ के लंबवत है,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $5(2\alpha + \beta) + 2(\alpha - \beta) + 6(\alpha + \beta) = 0$।यह $18\alpha + 9\beta = 0$ में सरल हो जाता है,जिससे $\beta = -2\alpha$ प्राप्त होता है।$\beta = -2\alpha$ को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$6\alpha^2 + 4\alpha(-2\alpha) + 3(-2\alpha)^2 = 1$ प्राप्त होता है।$6\alpha^2 - 8\alpha^2 + 12\alpha^2 = 1$,जिसका अर्थ है $10\alpha^2 = 1$,अतः $\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$।तब $\beta = -2(\pm \frac{1}{\sqrt{10}}) = \mp \frac{2}{\sqrt{10}}$।इन मानों को $\hat{a}$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $\hat{a} = \pm \frac{1}{\sqrt{10}} [ (2 - 2)i + (1 + 2)j + (1 - 2)k ] = \pm \frac{3j - k}{\sqrt{10}}$ प्राप्त होता है।

सदिशों $2i + j + k$ और $i - j + k$ के समतल में स्थित और $5i + 2j + 6k$ के लंबवत एक इकाई सदिश है

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मान लीजिए $\vec{u} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$,$\vec{v} = -3\hat{i} + 2\hat{j}$ और $\vec{w} = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

यदि $a \times r = b + \lambda a$ और $a \cdot r = 3,$ जहाँ $a = 2i + j - k$ और $b = -i - 2j + k,$ तो $r$ और $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\overline{AB}$ का $\overline{CD}$ पर सदिश प्रक्षेप ज्ञात कीजिए,जहाँ $A \equiv(2,-3,0), B \equiv(1,-4,-2), C \equiv(4,6,8)$ और $D \equiv(7,0,10)$ है।

यदि $a, b, c$ समान परिमाण के सदिश इस प्रकार हैं कि $(a, b)=\alpha, (b, c)=\beta, (c, a)=\gamma$,तो $\cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma$ का न्यूनतम मान क्या है?

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